傅里叶级数（Fourier Series）、傅里叶变换（Fourier Transform）对比

✅ 一、图中公式（傅里叶级数的一个特例）

傅里叶级数的一个特例

✳️ 本质：

这是一个 傅里叶级数（Fourier Series），专门用于周期函数的频谱展开（如方波、锯齿波、三角波等）。
这里我们看到的是一个奇函数的正弦展开，专用于周期为 2π 的方波近似：

傅里叶级数（Fourier Series）周期性延拓

这是所谓的“方波”傅里叶展开，公式中只保留了奇次正弦波成分。

✅ 二、傅里叶变换公式（通用非周期信号）

傅里叶变换公式（通用非周期信号）

✳️ 本质：

傅里叶变换适用于非周期函数或任意有限能量信号，将其变换为连续频率谱。

• 输入是任意函数 f(t)
  
• 输出是频域函数 F(ω)，表示“频率成分的多少”
• 用于语音、图像、雷达、无线电等信号处理领域
  
  

🔍 关键区别对比表：

对比项	傅里叶级数（Fourier Series）	傅里叶变换（Fourier Transform）
适用对象	周期函数	非周期函数或有限能量信号
输出结果	一组离散频率分量（谐波）	一个连续频率谱
常见形式	正弦、余弦展开	复指数形式 e−jωt
典型应用	分析方波、音调合成等	分析语音、雷达、图像等非周期信号
数学表达	级数相加 ∑	积分 ∫
单位周期示例	傅里叶级数（Fourier Series）	傅里叶变换（Fourier Transform）

🧠 形象总结：

类比方式	傅里叶级数	傅里叶变换
像什么？	像拼图，用几块积木拼一个周期图案	像调频收音机，扫描所有频率看哪段最强
拆解方式	拆成固定频率的谐波（整数倍）	拆成任意频率的连续成分
频率轴	离散点（1Hz、2Hz、3Hz...）	连续轴（0Hz 到 ∞Hz）

✅ 一句话超级通俗解释：

所有的声音、图像、信号，其实都可以看作是「很多不同频率的正弦波」组合而成的。

傅里叶级数是「重复的信号」拆解成「固定频率」的波；

傅里叶变换是「不重复的信号」拆成「所有可能频率」的波。

📦 打个比方：你在听音乐

假设你听一段音乐，这段音乐是个复杂的声音波形：

• 有低音（低频正弦波）
• 有高音（高频正弦波）
• 有节奏重复（周期性）或者变化（非周期性）
  
  

你耳朵其实就是把整个声音波形拆解成一个个不同频率的音来听的。

傅里叶理论就是用数学方式，把这件事精确地做出来。